Question

7．一批象棋选手共n人（n≥3），欲将他们分成三组进行比赛，同一组中的选手都不比赛，不同组的每两个选手都要比赛一盘，试证：要想总的比赛盘数最多，对应的分组应是使他们任何两组间的人数最多相差一人．

Answer 1

分析 利用反证法，有两组的人数相差超过一，不妨设第一组r人，第二组s人，并且r-s≥2，推出与已知相矛盾，问题得以证明．

解答 证明：假设有两组的人数相差超过一，不妨设第一组r人，第二组s人，并且r-s≥2，则从第一次调一个人到第二组去，这时第三组与第一，二组的比赛盘数不变，
而一、二两组之间，原来赛rs盘，现在赛（r-1）（s+1）盘，
由于（r-1）（s+1）=rs+r-s-1≥rs+2-1=rs+1＞rs，
所以这样调整后，总的比赛盘数增加，这与已知“总的比赛盘数最多”相矛盾．
故要想总的比赛盘数最多，对应的分组应是使他们任何两组间的人数最多相差一人

点评 本题考查了反证法，关键是掌握反证法的步骤，属于中档题．