Question

已知cosα=

1

7

，cos(α-β)=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

．
①求tan2α的值； 
②求cosβ的值； 
③求β的大小．

Answer 1

分析：①由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，先求sinα、tanα，再利用二倍角公式可求tan2α的值； 
②利用cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），可求cosβ的值；
③由②得cosβ=

1

2

，关键β∈(0，

π

2

)，可求β的大小．

解答：解：①由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

可得sinα=

4 3

7

∴tanα=

sinα

cosα

=4

3

，∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

8 3

47

②由0＜α＜β＜

π

2

，得0＜α-β＜

π

2

又∵cos(α-β)=

13

14

，∴sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

1-( 13 14 )2

=

3 3

14

∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

③由②得cosβ=

1

2

∵β∈(0，

π

2

)，∴β=

π

3

点评：本题考查三角恒等变换，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．