Question

5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．
（1）求证：CG∥平面ADF；
（2）直线BE与平面ACFE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结CE∩AF=O，连结OD，OG，推导出四边形CDOG是平行四边形，从而CG∥OD，由此能证明CG∥平面ADF．
（2）BC⊥平面ACFE，BE在平面ACFE上和射影为EC，BE与平面ACFE所成的角为∠BEC．由此能求出直线BE与平面ACFE所成角的正切值．

解答 证明：（1）连结CE∩AF=O，连结OD，OG，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=CB=2，G是BF的中点，
∴OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴OG$\underset{∥}{=}$CD，
∴四边形CDOG是平行四边形，
∴CG∥OD，
又OD?平面ADF，CG?平面ADF，
∴CG∥平面ADF．
解：（2）由（1）可知：BC⊥平面ACFE，BE在平面ACFE上和射影为EC，
BE与平面ACFE所成的角为∠BEC．
在△BCE中，∠BCE为直角，BC=2，
由勾股定理知：EC=3，
在△BCF中：tan∠BEC=$\frac{2}{3}$，
∴直线BE与平面ACFE所成角的正切值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．