Question

4．如图，已知四棱锥S-ABCD，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F分别是SC，BC的中点．
（Ⅰ）证明：SD⊥AF；
（Ⅱ）若AB=2，SA=4，求二面角F-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AF⊥BC．SA⊥AF．推出AF⊥平面PAD．然后利用直线与平面垂直的性质定理证明AF⊥SD．
（Ⅱ）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一法向量，平面AEC的一法向量，通过斜率的数量积求解二面角的余弦值即可．

解答 （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为F为BC的中点，所以AF⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．…（2分）
因为SA⊥平面ACDB，AE?平面ABCD，所以SA⊥AF．
而SA?平面SAD，AD?平面SAD且SA∩AD=A，
所以AF⊥平面PAD．又SD?平面SAD，…（5分）
所以AF⊥SD．            …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AF，AD，AS两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为SC，BC的中点，所以$A（0，0，0），B（\sqrt{3}，-1，0），C（\sqrt{3}，1，0），D（0，2，0）$，$S（0，0，4），E（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，2}），F（\sqrt{3}，0，0）$，
所以$\overrightarrow{AE}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，2}），\overrightarrow{AF}=（\sqrt{3}，0，0）$．
设平面AEF的一法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$因此$\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}+\frac{1}{2}{y}_{1}+2{z}_{1}=0\\ \sqrt{3}{x}_{1}=0\end{array}\right.$
取Z₁=-1，则$\overrightarrow{m}=（0，4，-1）$，…（9分）
因为BD⊥AC，BD⊥SA，SA∩AC=A，
所以BD⊥平面AEC，
故$\overrightarrow{BD}$为平面AEC的一法向量，且$\overrightarrow{BD}=（-\sqrt{3}，3，0）$，…（10分）
所以$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BD}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{BD}|}=\frac{4×3}{\sqrt{17}×\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{51}}{17}$，…（11分）
由于二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{51}}}{17}$．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．