Question

设函数，.

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）求函数的极值点.

（3）设为函数的极小值点，的图象与轴交于两点,且，中点为，

求证：．

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求,在上恒成立，反解参数,转化成恒成立问题，利用基本不等式求的最小值问题；

（2）先求函数的导数，因为,所以设,分情况讨论在不同情况下，的根，通过来讨论，主要分以及的情况，求出导数为0的值，判断两侧的单调性是否改变，从而确定极值点；

（3）,两式相减，结合中点坐标公式，,表示出,设出的能表示正负的部分函数，再求导数，利用导数得出单调性，从而确定.

试题解析：（1）

依题意得，在区间上不等式恒成立.

又因为，所以.所以，

所以实数的取值范围是. 2分

（2），令

①显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点； ..3分

②当时，

（ⅰ）当，即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点； .4分

（ⅱ）当，即时，

易知，当时，，这时；

当或时，，这时；

所以，当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

综上，当时，函数没有极值点； .6分

当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点. 8分

（Ⅲ）由已知得两式相减，

得： ①

由，得 ②得①代入②，得

= 10分

令且

在上递减， 12分

考点：导数的综合性问题