Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，（x＞0）}\end{array}\right.$，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是②④．（写出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．
③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．

Answer 1

分析 逐项判断即可．

解答 解：
①当k=0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1}&{x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}&{x＞0}\end{array}\right.$，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}1$=0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（kx+1）$，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥0$，此时
f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）$，令f（f（x））=0，可得：x=$\frac{1}{2}$，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜0$，此时f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=k$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤$-\frac{1}{k}$时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：$x=-\frac{k+1}{{k}^{2}}＜-\frac{1}{k}$，满足；
（Ⅱ）当$-\frac{1}{k}＜x≤0$时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（kx+1）$，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥0$，此时f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）$，令f（f（x））=0，可得：x=$\frac{1}{2}$，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜0$，此时f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=k$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$+1，令f（f（x））=0得：x=${2}^{\frac{1}{k}}$＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．