Question

1．（Ⅰ）△ABC的三个顶点分别为A（-1，5），B（-2，-2），C（5，-5），求其外接圆的方程．
（Ⅱ）求经过点（-5，2），焦点为（$\sqrt{6}$，0）的双曲线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：利用待定系数法；法二：求出圆心与半径，即可求其外接圆的方程．
（Ⅱ）设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），利用经过点（-5，2），焦点为（$\sqrt{6}$，0），求出a，b，即可求出双曲线方程．

解答 解：（Ⅰ）法一：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由题意有
$\left\{\begin{array}{l}-D+5E+F+26=0\\-2D-2E+F+8=0，5D+5E+F+50=0\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}D=-4\\ E=-2，F=-20.\end{array}$
故所求圆的方程为x²+y²-4x-2y-20=0．----------------------------------（6分）
法二：由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2，线段BC的中垂线方程为x+y-3=0，∴圆心是两中垂线的交点（2，1），半径r=$\sqrt{（2+1）^2+（1-5）^2}$=5．
故所求圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=25．
（Ⅱ）∵焦点坐标为（$\sqrt{6}$，0），焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．----------------------------（7分）
∵双曲线过点（-5，2），∴$\frac{25}{a^2}$-$\frac{4}{b^2}$=1，得a²=$\frac{25b^2}{b^2+4}$．---------------------（8分）
联立$\left\{\begin{array}{l}a^2=\frac{25b^2}{b^2+4}\\ a^2+b^2=c^2=6\end{array}$解得a²=5，b²=1，----------------（11分）（解对一个2分）
故所求双曲线方程为$\frac{x^2}{5}$-y²=1．---------------------------------------（12分）

点评 本题考查圆、双曲线的方程，考查待定系数法的运用，属于中档题．