Question

17．设a＞0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2+（x-a）^{2}，x＜\frac{1}{3}}\\{ax+lo{{g}_{3}}_{\;}x，x≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$的最小值为1，则a=6．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，得到函数在x≥$\frac{1}{3}$上取得，根据函数的单调性建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵2+（x-a）²＞1，
∴函数的最小值在x≥$\frac{1}{3}$上取得，
当x≥$\frac{1}{3}$时，函数f（x）=ax+log_ax在x≥$\frac{1}{3}$上是增函数，
当x=$\frac{1}{3}$时，函数取得最小值，此时f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$a+log₃$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$a-1=1．
即$\frac{1}{3}$a=2，则a=6，
故答案为：6

点评 本题主要考查分段函数的应用，结合函数的最值建立方程关系是解决本题的关键．