Question

函数f（x）满足，对任意x，y∈R有，则f（-2012）________．

Answer 1

分析：可采用赋值法求得f（0）=，再通过赋值法求得f（-2）=f（-4）=f（-6）=-，从而归纳出结论．
解答：∵f（-1）=，令x=y=-1，有4f（-1）f（0）=2f（-1）=，
∴f（0）=，
令y=-x，有4f（0）f（x）=f（x）+f（-x），即2f（x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数；
令x=-2，y=0，有4[f（-1）]²=f（-2）+f（0），解得f（-2）=-①；
令x=-4，y=0，有4[f（-2）]²=f（-4）+f（0），解得f（-4）=-②；
再令x=4，y=2，有4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（3）=；
令x=-6，y=0，有4[f（-3）]²=f（-6）+f（0），解得f（-6）=-③；
…
∴f（-2n）=-．
∴f（-2012）=-．
点评：本题考查抽象函数及其用，关键在于通过赋值法寻找规律，难点在于多次赋值才能发现规律，属于难题．