Question

2．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），若tan（α+β）=2tanβ，则当α取得最大值时，tan2α=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．

Answer 1

分析 先化简已知，利用均值不等式得出tanα=$\frac{1}{\frac{1}{tanβ}+2tanβ}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求出tanβ的值，进而得出tanα的最大值，然后根据两角和与差公式得出结果．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanα＞0，tanβ＞0，
∵tan（α+β）=2tanβ，可得：$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanβ，
∴整理可得：tanα=$\frac{tanβ}{1+2ta{n}^{2}β}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanβ}+2tanβ}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$\frac{1}{tanβ}$=2tanβ，即tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，tanα_max=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
此时，可得：tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{2}{16}}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．

点评 此题考查了两角和与差公式、同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式解题的关键，此题综合性较强，属于中档题．