Question

8．如图，在四边形ABCD中，CB=CA=$\frac{1}{2}$AD=1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AD}$=-1，sin∠BCD=$\frac{3}{5}$．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AD}$=-1，利用向量的数量积的性质求得cos∠DAC的值，进而求得∠DAC，进而利用余弦定理求得DC的长．
求得BC²+AC²=AB²．判断AC⊥CD，
（2）在直角三角形中求得cos∠ACB的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACB，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．
（3）在△ACB中利用余弦定理求得AB的长，最后利用正弦定理求得sinB的值．

解答 解：（1）CB=CA=$\frac{1}{2}$AD=1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AD}$=-1，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overline{DA}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{DA}$|•cosA=1×2•cos∠CAD=1，
∴cos∠CAD=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAD=$\frac{π}{3}$
由余弦定理CD²=AC²+AD²-2AD•ACcos∠CAD=1+4-2×2×$\frac{1}{2}$=3．
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴AD²=AC²+CD²，
∴∠ACD=$\frac{π}{2}$．
∴AC⊥CD，
（2）由（1）∠ACD=$\frac{π}{2}$，
∴sin∠BCD=sin（$\frac{π}{2}$+∠ACB）=cos∠ACB=$\frac{3}{5}$．
∵∠ACD∈（0，π），∴sin∠ACB=$\frac{4}{5}$．
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{2}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）在△ACB中，
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=1+1-2×1×1×$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{5}$．
∴AB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AB}{sin∠ACD}$=$\frac{AC}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{AC•sin∠ACD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．