Question

若双曲线E：－y²＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且，求k，m的值．

Answer 1

　(1)由

故双曲线E的方程为x²－y²＝1.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由

得(1－k²)x²＋2kx－2＝0.①

∵直线与双曲线右支交于A，B两点，

所以1<k<.

整理得28k⁴－55k²＋25＝0，

∴k²＝或k²＝.

又1<k<，∴k＝，

所以x₁＋x₂＝4，

y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－2＝8.

设C(x₃，y₃)，由得，

(x₃，y₃)＝m(x₁＋x₂，y₁＋y₂)

＝(4m,8m)．∴x₃＝4m，y₃＝8m.

∵点C是双曲线上一点，

∴80m²－64m²＝1，得m＝±.

故k＝，m＝±.