Question

7．已知函数f（x）=2ax+bx-1-2lnx（a∈R）．
（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对?α∈[1，3]，?x∈（0，+∞），f（x）≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：e^xln（y+1）＞e^yln（x+1）．

Answer 1

分析 （1）当b=0时，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）单调区间；
（2）将原不等式转化成a+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$≥$\frac{b}{2}$，对?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，构造辅助函数，求导，求得函数的最小值，由a的取值范围，即可求得实数b的取值范围；
（3）由题意可知：e^xln（y+1）＞e^yln（x+1）．只需证$\frac{{e}^{x}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y}}{ln（y+1）}$，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得g（x）＞g（y），即可证明不等式成立．

解答 解：（1）当b=0时，f（x）=2ax-1-2lnx，求导f′（x）=2a-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（ax-1）}{x}$，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）单调递增，
综上可知：当a≤0时，（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，在（0，$\frac{1}{a}$）单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）单调递增，
（2）由已知对?a∈[1，3]，f（x）≥2bx-3对，?x∈（0，+∞）恒成立，
则2ax+bx-1-2lnx≥2bx-3，对?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，
即a+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$≥$\frac{b}{2}$，对?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，
设g（x）=a+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]，
求导g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
则g（x）在（0，e²）单调递减，在（e²，+∞）单调递增，
当x＞0时，g（x）_min=g（e²）=a-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即$\frac{b}{2}$≤a-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
由a∈[1，3]，则$\frac{b}{2}$≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，即a≤2-$\frac{2}{{e}^{2}}$
∴实数b的取值范围（-∞，2-$\frac{2}{{e}^{2}}$]；
（3）证明：x＞y＞e-1，则x+1＞y+1＞e，
∴ln（x+1）＞ln（y+1）＞1，
欲证e^xln（y+1）＞e^yln（x+1）．只需证$\frac{{e}^{x}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y}}{ln（y+1）}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{ln（x+1）}$，x∈（e-1，+∞），
求导g′（x）=$\frac{{e}^{x}[ln（x+1）-\frac{1}{x+1}]}{l{n}^{2}（x+1）}$，
显然函数h（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，在（e-1，+∞）上单调递增，
h（x）=1-$\frac{1}{e}$＞0，即g′（x）＞0，
g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
∴x＞y＞e-1时，g（x）＞g（y），即$\frac{{e}^{x}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y}}{ln（y+1）}$，
∴当x＞y＞e-1时，e^xln（y+1）＞e^yln（x+1）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立，不等式的证明，考查分离参数的应用，属于难题．