Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{x}$-2x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）函数的定义域为{x|x≠0}，
则f（-x）=-$\frac{1}{x}$+2x=-（$\frac{1}{x}$-2x）=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₁-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$-2（x₁-x₂）=（x₂-x₁）•（2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₂-x₁＞0，2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
则函数f（x）在（0，+∞）上的单调递减．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．