Question

14．已知等差数列{a_n}满足：a₂=3，a₅-2a₃+1=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：{b_n}=（-1）ⁿa_n+n（n∈N^*），求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由已知得b_n=（-1）ⁿ（2n-1）+n，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）令等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=3，a₅-2a₃+1=0，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{（{a}_{1}+4d）-2（{a}_{1}+2d）+1=0}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）．
（2）由已知得b_n=（-1）ⁿ（2n-1）+n，
若n为偶数，结合a_n-a_n-1=2，得
S_n=（-a₁+a₂）+（-a₃+a₄）+…+（-a_n-1+a_n）+（1+2+…+n）=2•$\frac{n}{2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{2}$；
若n为奇数，则S_n=S_n-1+b_n=$\frac{（n-1）2+3（n-1）}{2}$-（2n-1）+n=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．