Question

14．直线x-4y+1=0经过抛物线y=ax²的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2-m），则正数m的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 由抛物线的焦点，得到未知量a，由垂直得到斜率乘积是-1，由此得到m的取值范围．

解答 解：∵y=ax²的焦点坐标为（0，$\frac{a}{4}$）
∴a=1，
∴抛物线为y=x²，
设P点坐标为（x，x²）
∵PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2-m），
∴k_PAk_PB=-1
∴x⁴-3x²+4-m²=0有解
令t=x²，（t≥0）
则方程变为t²-3t+4-m²=0，且在t≥0上有解，
∵对称轴为t=$\frac{3}{2}$，
∴只需△≥0即可，
∴m≥$\frac{\sqrt{7}}{2}$
故选：D

点评 本题考查抛物线的焦点，垂直得到斜率乘积是-1，由此得到m的取值范围．