Question

12．已知在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲线C₁与C₂交点的平面直角坐标；
（Ⅱ） 点A，B分别在曲线C₁，C₂上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$消去θ化为普通方程，由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，得x²+y²=2y，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，A，C₁，C₂，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x+1=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$
则曲线C₁的普通方程为（x+1）²+y²=1．
又由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，得x²+y²=2y．
把两式作差得，y=-x，代入x²+y²=2y，
可得交点坐标为为（0，0），（-1，1）．（5分）
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，
当A，C₁，C₂，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时$|AB|=2+\sqrt{2}$，
直线AB的方程为x-y+1=0，则O到AB的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以△OAB的面积为$S=\frac{1}{2}（2+\sqrt{2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．（10分）

点评 本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，是中档题．