Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，{S_n-（n+1）²a_n}为常数列，则a_n=$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 根据{S_n-（n+1）²a_n}为常数列的性质：连续两项的差为零列出式子，利用当n≥2时a_n=S_n -S_n-1化简，得到数列{a_n}的递推公式，利用累积法和a₁=1求出a_n．

解答 解：∵{S_n-（n+1）²a_n}为常数列，
∴当n≥2时，[S_n-（n+1）²a_n]-[S_n-1-（n-1+1）²a_n-1]=0，
∴a_n-（n+1）²a_n+n²a_n-1=0，
∴n²a_n-1=n（n+2）a_n，则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{5}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{4}{6}$，…，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n-1}{n+1}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n+2}$，
以上n-1个式子相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{2×3}{（n+1）（n+2）}$，
又a₁=1，则a_n=$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$，
故答案为：$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列递推公式的化简，当n≥2时a_n=S_n -S_n-1，常数列的性质的应用，以及累积法求数列的通项公式，考查化简、变形能力．