Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=n，n∈N₊．
（1）求a_n．
（2）设T_n=$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+2}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+3}}}}$+…+$\frac{1}{{{S_{2n}}}}$，是否存在整数m，使对任意n∈N₊，不等式T_n≤m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=n与$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n-1}{{a}_{n-1}+1}$=n-1（n≥2）作差，进而整理即得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）（n≥2），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=n，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{2}{{{a_2}+1}}$+$\frac{3}{{{a_3}+1}}$+…+$\frac{n-1}{{a}_{n-1}+1}$=n-1（n≥2），
两式相减得：$\frac{n}{{{a_n}+1}}$=1，即a_n=n-1，
又∵$\frac{1}{{{a_1}+1}}$=1，即a₁=0满足上式，
∴a_n=n-1；
（2）结论：存在整数m=1，使对任意n∈N₊，不等式T_n≤m恒成立．
理由如下：
由（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）（n≥2），
∴T_n=$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+2}}}}$+$\frac{1}{{{S_{n+3}}}}$+…+$\frac{1}{{{S_{2n}}}}$
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$）
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{n}$，
要存在整数m，使对任意n∈N₊，不等式T_n≤m恒成立，即（T_n）_max≤m，
由{$\frac{1}{n}$}单调递减可知当n=1时，T_n取最大值1，即m=1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．