Question

2．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，则tan（A-B）的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知式子和正弦定理以及三角函数公式可得tanA=3tanB，且tanA＞0．tanB＞0，由两角差的正切公式可得tan（A-B）=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵△ABC中acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
∴由正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC，
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sinC=sin（A+B），
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB，
整理可得sinAcosB=3cosAsinB，∴tanA=3tanB，
由三角形内角的范围易得tanA＞0．tanB＞0，
∴tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{2tanB}{1+3ta{n}^{2}B}$
=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{tanB}•3tanB}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
当且仅当$\frac{1}{tanB}$=3tanB即tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$即B=$\frac{π}{6}$时tan（A-B）取最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查正弦定理，涉及三角函数公式以及基本不等式求最值，属中档题．