题目内容
17．已知函数f（x）=xlnx-ax2+a不存在最值，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （0，1） | B． | （0，$\frac{1}{2}$] | C． | [1，+∞） | D． | [$\frac{1}{2}$，+∞） |
分析 问题等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax-1相切时，设切点是（x0，lnx0），求出a的临界值即可．
解答 解：由题意，f′（x）=lnx+1-2ax
令f′（x）=0，得lnx=2ax-1，
函数f（x）不存在最值，等价于f′（x）=lnx-2ax+1最多1个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象最多1个交点，
当y=lnx和y=2ax-1相切时，设切点是（x0，lnx0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{l{nx}_{0}=2{ax}_{0}-1}\\{2a=\frac{1}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{1}{2}$，
故当a=$\frac{1}{2}$时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
故a≥$\frac{1}{2}$时，y=lnx与y=2ax-1的图象最多1个交点．
则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：D．
点评 本题考查了导数的应用以及函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题．
练习册系列答案
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在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，如图建立空间直角坐标系．
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
如图所示，四边形ABCD为菱形，矩形A1ACC1⊥平面ABCD，且DA=2，AA1=3，∠ADC=$\frac{π}{3}$，E为线段A1C1的中点，F为线段A1A上一点．