给出下列四个命题:①命题“?x∈R.都有x2-x+1≥$\frac{3}{4}$ 的否定是“?x∈R.使x2-x+1＜$\frac{3}{4}$ ②命题“设向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=.若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$.则α=$\frac{π}{4}$的逆命题.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，都有x²-x+1≥$\frac{3}{4}$”的否定是“?x∈R，使x²-x+1＜$\frac{3}{4}$”
②命题“设向量$\overrightarrow{a}$=（4sinα，3），$\overrightarrow{b}$=（2，3cosα），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则α=$\frac{π}{4}$的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；
③集合A={x|x²-x=0}，B={y|y=-lg（sinx）}，C={y|y=$\sqrt{1-{t}^{2}}$}则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件．
其中正确命题的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

分析写出原命题的否定，可判断①；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③．

解答解：①命题“?x∈R，都有x²-x+1≥$\frac{3}{4}$”的否定是“?x∈R，使x²-x+1＜$\frac{3}{4}$”，故①正确；
②命题“设向量$\overrightarrow{a}$=（4sinα，3），$\overrightarrow{b}$=（2，3cosα），
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则6sin2α-6=0，即sin2α=1，
故原命题若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则α=$\frac{π}{4}$为假命题，其逆否命题假命题，
其逆命题、否命题为真命题，
故②正确；
③集合A={x|x²-x=0}={0，1}，
B={y|y=-lg（sinx）}=[0，+∞），
C={y|y=$\sqrt{1-{t}^{2}}$}=[0，1]，
故B∩C=[0，1]，
则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件．故③正确；
故选：D．

点评本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，全称命题，充要条件，难度中档．