Question

已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.

① 若直线垂直于轴，求的大小;

② 若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.

（ⅱ）当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.

由题意可知：，.             2分

解得.            

∴ 椭圆的标准方程为.           3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.

（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.

由 解得：或

即（不妨设点在轴上方）.        5分

则直线的斜率，直线的斜率.

∵ ，得 .

∴ .                 6分

（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.

由消去得：.

因为 点在椭圆的内部，显然.

          8分

因为 ，，，

所以

.

∴ .    即为直角三角形.                   11分

假设存在直线使得为等腰三角形，则.

取的中点，连接，则.

记点为.

另一方面，点的横坐标，

∴点的纵坐标.

又

故与不垂直，矛盾.

所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.              13分

考点：本题主要考查直线方程，椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。解题过程中，运用平面向量的数量积，“化证为算”，达到证明目的。