Question

10．已知函数f（x）=2sin2x，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意的a∈R，y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为（　　）

• A． 20
• B． 21
• C． 20或21
• D． 21或22

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数在每一个周期内零点的个数，求得函数g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

解答 解：函数f（x）=2sin2x，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再往上平移1个单位，
得到函数y=g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的图象．
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{5}{12}$π或x=kπ+$\frac{3}{4}$π（k∈Z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
故函数的零点个数的所有可能值为20或21，
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于基础题．