Question

5．$\frac{1}{{1}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2}$+$\frac{1}{{3}^{2}+3}$+…+$\frac{1}{201{6}^{2}+2016}$=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 根据：数列的通项公式为$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂项法进行求解即可．

解答 解：数列的通项公式为$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则$\frac{1}{{1}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2}$+$\frac{1}{{3}^{2}+3}$+…+$\frac{1}{201{6}^{2}+2016}$=1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题主要考查数列和的计算，根据条件得到数列的通项公式以及，利用裂项法是解决本题的关键．