Question

18．设函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，已知不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（2，+∞），
（1）求a和b的值；
（2）已知命题p：?x∈R，ax²+bx+c≤0，命题q：?x∈R，x²+2$\sqrt{3}$x-c=0．如果p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是假命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题知，-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两根且a＜0，由韦达定理可得：a和b的值；
（2）p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是假命题，则p真q真或p假q假，进而可得c的取值范围．

解答 解：（1）由题知，-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两根且a＜0   …（2分）
故由韦达定理易得a=-3，b=5                              …（4分）
（2）命题p真时，△₁≤0，25+12c≤0，c≤-$\frac{25}{12}$
命题q真时，△₂≥0，12+4c≥0，∴c≥-3，…（6分）
∵p∨（?q）是真命题，p∧（?q）是假命题，
∴则p真q真或p假q假                           …（8分）
故c的取值范围是[-3，-$\frac{25}{12}$]…（10分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次方程与二次不等式的关系，难度中档．