Question

8．已知f（α）=cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$
（Ⅰ）当α为第二象限角时，化简f（α）；
（Ⅱ）当α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，求f（α）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据当α为第二象限角时，sinα＞0，cosα＜0，即可化简．
（Ⅱ）当α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，求出f（α）内层函数的范围，利用三角函数的性质求解其最大值．

解答 解：（Ⅰ）当α为第二象限角时，sinα＞0，cosα＜0，
f（α）=cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$=cosα$\sqrt{\frac{（1-sina）^{2}}{1-si{n}^{2}α}}$+sinα$\sqrt{\frac{（1-cosα）^{2}}{1-co{s}^{2}α}}$=cosα•$\frac{1-sinα}{|cosα|}$+sin$α•\frac{1-cosα}{|sinα|}$=sinα-1+1-cosα=$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）
（Ⅱ）当α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，由（Ⅰ）可得f（α）=$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）
那么：$α-\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
则sin（$α-\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
∴f（α）的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的有界性，角象限的运用去绝对值，考查转化思想以及计算能力．