Question

5．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（I）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（II）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？

Answer 1

分析 （I）由AB=AC，可得∠ABC=∠C，再利用圆的性质可得∠C=∠D，即∠ABC=∠D．进而得到△ABE∽△ADB．利用相似三角形的性质即可得出．
（II）直线FA与⊙O相切．分析如下：连接OA．由于BD为⊙O的直径，可得∠BAD=90°．利用勾股定理可得BD，于是BF=BO=AB．可得∠OAF=90°．即可证明．

解答 解：（I）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$．
AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12．
∴$AB=2\sqrt{3}$．
（II）直线FA与⊙O相切．理由如下：
连接OA．∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°．
∴$BD=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}}=\sqrt{12+{{（{2+4}）}^2}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$．
∵$AB=2\sqrt{3}$，∴BF=BO=AB．
∴∠OAF=90°．∴直线FA与⊙O相切．

点评 本题考查了圆的性质、直线与圆相切的判定定理、直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．