Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{ab}$=1．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求∠B及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知将条件式变形得：a²+b²-c²=-ab，由余弦定理得cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围0＜C＜π，可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinB，进而可求B，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）由已知将条件式化简（a+b）²-c²=ab，
变形得：a²+b²-c²=-ab，
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$，可得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{1}{2}）+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
由三角形面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．