Question

2．已知定义在R上的奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x≤0}\\{g（x），x＞0}\end{array}\right.$，则f（1）=-1；不等式f（f（x））≤7的解集为（-∞，2]．

Answer 1

分析 由奇函数关于原点对称的性质，即可求得f（1）；不等式f（f（x））≤7的解集等价于f（x）≥-3的解集，即可求得答案．

解答 解：∵R上的奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x≤0}\\{g（x），x＞0}\end{array}\right.$，
∴f（1）=-f（-1）=-[（$\frac{1}{2}$）^-1-1]=-1，
∵不等式f（f（x））≤7，f（-3）=7，
∴f（x）≥-3，
∵R上的奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x≤0}\\{g（x），x＞0}\end{array}\right.$，
∴g（x）=1-2^x，
∴f（x）≥-3等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{1-{2}^{x}≥-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{2}^{-x}-1≥-3}\end{array}\right.$，
可以解得x≤2，
即不等式f（f（x））≤7的解集为（-∞，2]．
故答案为：-1；（-∞，2]．

点评 本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题．