题目内容

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且．
（Ⅰ）求a2，a3的值；
（Ⅱ）求证：是等差数列；
（Ⅲ）若，求数列{bn}的前n项和．

解：各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且．
∴an+1·an（an+1+an）+（an+1+an）（an+1﹣an）=0
（an+1+an）（an+1·an+an+1﹣an）=0
∴an+1·an+an+1﹣an=0
∴+1=0；
∴=1．①
（Ⅰ）∵=1+=2
∴a2=；同理：a3=．
（Ⅱ）由①得是首项为1，公差为1的等差数列；
∴=1+（n﹣1）×1=n；
∴an=．
（Ⅲ）∵=2n+；
{n·2n}的和Sn=1·21+2·22+…+n·2n …①，
2·Sn=2·21+3·22+…+n·2n+1 …②，
∴①﹣②得﹣Sn=21+22+23+…+2n﹣n·2n+1
∴﹣Sn=﹣n×2n+1
∴Sn=（n﹣1）2n+1+2；
{}的和为：Tn=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．
∴数列{bn}的前n项和为：Sn+Tn=（n﹣1）2n+1+2+．

练习册系列答案
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（Ⅱ）设数{bn}的前n项和Tn，令bn=an2，其中n∈N*，试比较
Tn+1+12
4Tn
与
2log2bn+1+2
2log2bn-1
的大小，并加以证明．

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