题目内容
7．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=14，点F关于l对称点M在椭圆E上，则F坐标为（5，0）．分析 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得14=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．解得a=7，取M（m，n），运用对称可得$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{4}{3}$，3•$\frac{m+c}{2}$-4•$\frac{n}{2}$=0，解得m，n，代入椭圆方程，解得c=5，即可得到所求F的坐标．
解答 
解：如图所示，
设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，
则四边形AFBF′是平行四边形，
可得|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=14，解得a=7．
设M（m，n），由点F（c，0）关于l对称点为M，可得
$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{4}{3}$，3•$\frac{m+c}{2}$-4•$\frac{n}{2}$=0，
解得m=$\frac{7}{25}$c，n=$\frac{24}{25}$c，
将M（$\frac{7}{25}$c，$\frac{24}{25}$c）代入椭圆方程，可得
$\frac{49{c}^{2}}{625×49}$+$\frac{576{c}^{2}}{625×（49-{c}^{2}）}$=1，
解得c=5，即F（5，0）．
故答案为：（5，0）．
点评 本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、点到直线的距离公式和中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
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15．
如图，F1，F2是椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$（e为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
如图，F1，F2是椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$（e为椭圆的离心率）的最小值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{5}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{5}}{4}$ | C． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{6}}{4}$ |
12．化简（1-cos30°）（1+cos30°）得到的结果是（ ）
| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | 0 | D． | 1 |