题目内容
19．已知抛物线y2=ax的准线是l：x=-$\frac{1}{2}$．（1）写出抛物线的焦点F的坐标和标准方程；
（2）若经过焦点切斜角为45°的直线与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
分析 （1）根据准线方程求出a，得出标准方程和焦点坐标；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的性质得出|AB|．
解答 解：（1）由题意可知-$\frac{a}{4}$=-$\frac{1}{2}$，∴a=2，
∴抛物线的标准方程为y2=2x，焦点F（$\frac{1}{2}$，0）．
（2）直线AB的方程为y=x-$\frac{1}{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y得x2-3x+$\frac{1}{4}$=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=3，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+$\frac{1}{2}$+x2+$\frac{1}{2}$=x1+x2+1=4．
点评 本题考查了抛物线的性质，焦点弦公式，属于基础题．
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