(1)构造函数证明不等式的性质.若a＞b＞0.则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$．(2)求证:x＞2时.x3-6x2+12x-1＞7．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．（1）构造函数证明不等式的性质，若a＞b＞0，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$．
（2）求证：x＞2时，x³-6x²+12x-1＞7．

分析（1）设函数f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），可得f（x）在（0，+∞）递减，即可得证；
（2）设g（x）=x³-6x²+12x-1，求出导数，判断x＞2时g（x）的单调性，即可得证．

解答证明：（1）设函数f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），
可得f（x）在（0，+∞）递减，
由a＞b＞0，可得f（a）＜f（b），
即为$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$；
（2）设g（x）=x³-6x²+12x-1，
g′（x）=3x²-12x+12=3（x-2）²，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，
即有g（x）＞g（2）=7，
可得x＞2时，x³-6x²+12x-1＞7．

点评本题考查不等式的证明，注意运用构造函数判断单调性，考查运算和推理能力，属于中档题．

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7．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长AB=2，M，N，P分别是C₁C，BC₁，C₁D₁的中点．
（1）直线A₁C₁交PN于点E，直线AC₁交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．
（2）求三棱锥D-MNP的体积．

8．已知抛物线y²=ax的准线方程是x=-1，焦点为F．
（1）求a的值；
（2）过点F作直线交抛物线于A（x_₁，y_₁），B（x_₂，y_₂）两点，若x_₁+x_₂=6，求弦长AB．

5．

如图，已知直线l与抛物线y²=2x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M，若y₁y₂=-4，
（1）求：M点的坐标；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

12．根据教材P₄₅第6题可以证明函数g（x）=x²+ax+b满足性质$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，理解其中的含义．对于函数f（x）=2^x，h（x）=log₂x及任意实数x₁，x₂，仿照上述理解，可以推测（　　）

	A．	$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
	B．	$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
	C．	$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
	D．	$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$

2．已知抛物线y²=4x的焦点为F，点A（3，m）是抛物线上一点，则|FA|=4．

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）是否存在平行于OA的直线（O为原点）L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由．

6．证明：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$（n＞1）．

7．如图，M是抛物线y²=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（　　）

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