Question

3．若sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，则sin（$\frac{5π}{6}$-x）+sin²（$\frac{π}{3}$-x）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{33}{16}$．

Answer 1

分析 由诱导公式、平方关系求出sin（$\frac{5π}{6}$-x）和sin²（$\frac{π}{3}$-x）的值，由二倍角公式求出cos（2x+$\frac{π}{3}$）的值，代入式子即可求值．

解答 解：因为sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
所以sin（$\frac{5π}{6}$-x）=sin（π-$\frac{π}{6}$-x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
sin（$\frac{π}{3}$-x）=sin[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{6}$）]=cos（x+$\frac{π}{6}$），
则sin²（$\frac{π}{3}$-x）=cos²（x+$\frac{π}{6}$）=1-sin²（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{15}{16}$，
cos（2x+$\frac{π}{3}$）=cos2（x+$\frac{π}{6}$）=1-2sin²（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{7}{8}$，
所以sin（$\frac{5π}{6}$-x）+sin²（$\frac{π}{3}$-x）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}+\frac{15}{16}+\frac{7}{8}$=$\frac{33}{16}$，
故答案为：$\frac{33}{16}$．

点评 本题考查诱导公式，平方关系，二倍角的余弦公式变形，注意角之间的关系，熟练掌握公式是解题的关键．