Question

14．已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和等比数列{b_n}满足b₁=a₁-1，b₃=a₃+3，（n为正整数）且{b_n}的公比q＞0，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由题意列关于首项和公差的方程组，求解方程组得到首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）结合（1）求得b₁，b₃的值，进一步求得公比，由等比数列的前n项和公式求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意知$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=8}\\{2{a}_{1}+4d=12}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）可知，a₁=2，a₃=6，
∴b₁=2-1=1，b₃=6+3=9，则q²=9．
又∵q＞0，∴q=3．
∴${S}_{n}=\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{1-{3}^{n}}{1-3}=\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．