Question

19．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x-1，\;x＜3\\{2^x}，\;x≥3\end{array}\right.$，则满足f（f（a））=2^f（a）的a取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{2}{3}，\;\frac{4}{3}}]$
• B． $[{\frac{2}{3}，\;+∞}）$
• C． $[{\frac{4}{3}，\;+∞}）$
• D． $[{\frac{4}{3}，\;+∞}]∪\left\{{\frac{2}{3}}\right\}$

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式进行讨论进行求解即可．

解答 解：当a≥3时，f（f（a））=f（2^a）=${2^{2^a}}={2^{f（a）}}$，所以a≥3符合题意；
当$\frac{4}{3}≤a＜3$时，f（a）=3a-1≥3，所以f（f（a））=f（3a-1）=2^3a-1=2^f（a），
所以$\frac{4}{3}≤a＜3$符合题意；
当$a＜\frac{4}{3}$时，f（a）=3a-1＜3，所以f（f（a））=f（3a-1）=9a-4=2^3a-1，
结合图象知：只有当$a=\frac{2}{3}$时符合题意；
综上所述，a的取值范围为$a≥\frac{4}{3}或a=\frac{2}{3}$．
故选：D

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键．