Question

6．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠B=60°，等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，则这个梯形面积S的取值范围（0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意：等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，∠A=∠B=60°，利用正弦定理可知，等腰梯形ABCD在圆内的对角线为定值$\sqrt{3}$，设对角线与底边的夹角为θ（0＜θ＜60°），建立关系，化简，利用三角函数的有界限即可求梯形面积S的取值范围．

解答 解：如图：等腰梯形ABCD外接圆的半径为1，∠B=60°，
利用正弦定理可知，$\frac{AC}{sin60°}=2R$，
等腰梯形ABCD对角线AC=$\sqrt{3}$．
设AC与底边的夹角为α（0＜α＜60°），
过C点作CF垂直AB，交于AB于F，
则AF=$\sqrt{3}$cosα，CF=$\sqrt{3}$sinα，
BF=sinα，DC=$\sqrt{3}$cosα-sinα，
梯形面积S=$\frac{1}{2}$（AB+DC）×CF
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$cosα+sinα+$\sqrt{3}$cosα-sinα）×$\sqrt{3}$sinα，
=3cosαsinα，
=$\frac{3}{2}$sin2α，
∵0＜α＜60°，
∴0＜2α＜120°，
当2α=90°时，梯形面积最大值为$\frac{3}{2}$．
所以这个梯形面积S的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$]．
故答案为（0，$\frac{3}{2}$]

点评 本题考查了等腰梯形ABCD外接圆的问题，其圆心为腰的垂直平分线和底边的垂直平分线的交点．利用了正弦定理可知等腰梯形ABCD在圆内的对角线为定值$\sqrt{3}$是解题的关键．属于中档题．