Question

20．设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}11，n=1\\ n+1，n≥2\end{array}$，n∈N^*，则$\frac{S_n}{n}$的最小值为$\frac{23}{4}$．

Answer 1

分析 运用等差数列的求和公式，计算S_n，化简$\frac{S_n}{n}$，再运用基本不等式，求得等号成立的条件，注意n为自然数，计算n=3，4的数值，比较，即可得到所求最小值．

解答 解：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=11+（3+4+…+n+1）
=11+$\frac{1}{2}$（n-1）（n+4）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+9，
则$\frac{S_n}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$+$\frac{3}{2}$，
由$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$≥2$\sqrt{\frac{n}{2}•\frac{9}{n}}$=3$\sqrt{2}$，
当$\frac{1}{2}$n=$\frac{9}{n}$时，即n=3$\sqrt{2}$∉N^*，等号成立，
由n=3时，$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$=$\frac{9}{2}$，
n=4时，$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$=$\frac{17}{4}$．
则$\frac{1}{2}$n+$\frac{9}{n}$的最小值为$\frac{17}{4}$．
可得$\frac{S_n}{n}$的最小值为$\frac{17}{4}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{23}{4}$．
故答案为：$\frac{23}{4}$．

点评 本题考查等差数列的求和公式的运用，同时考查运用基本不等式求最值的方法，注意等号成立的条件和n为自然数的条件，考查运算能力，属于中档题和易错题．