Question

3．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，设椭圆C₂与椭圆C₁的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C₂的焦点在y轴上．
（1）求椭圆C₁的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
（2）写出椭圆C₂的方程，并研究其性质．

Answer 1

分析 （1）可确定椭圆的焦点在x轴上，且a=10，b=8，由a²=b²+c²，从而可求长半轴长、短半轴长、焦点坐标、离心率；
（2）由椭圆C₂的焦点在y轴上，求得C₂的方程，由椭圆的范围、对称性、顶点及离心率等性质．

解答 解：（1）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
∴焦点在x轴上，a=10，b=8，
由a²=b²+c²，
∴c=6，
故求椭圆C₁的长半轴长为10，短半轴长8，
焦点坐标分别为（-6，0），（6，0），离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$；
（2）由椭圆C₂与椭圆C₁的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C₂的焦点在y轴上，
$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
由（1）可知：a=10，b=8，
∴椭圆C₂的方程为：$\frac{{y}^{2}}{100}+\frac{{x}^{2}}{64}=1$，
∴①范围：-8≤x≤8，-10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点（0，10），（0，-10），短轴端点（-8，0），（8，0）；
④焦点坐标分别为（0，6），（0，-6）焦距2c=12，
⑤离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查根据椭圆方程求椭圆的简单性质，以及椭圆的性质的运用，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．