Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．
（1）求证：EH∥平面PBA；
（2）求平面FAH与平面EAH所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的性质定理证明平面EFH∥平面PAB即可证明EH∥平面PBA；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面FAH与平面EAH所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）因为△PAE≌△DAE⇒PE=DE，又EH⊥PD⇒H为PD中点，
又FH∥CD∥AB，FH?面PAB，AB?面PAB⇒FH∥平面PAB，…（2分）
又EF∥PB，EF?面PAB，PB?面PAB⇒EF∥平面PAB，…（4分）
EF∩HF=F，
∴平面EFH∥平面PAB，EH?平面EFH⇒EH∥平面PAB…（6分）
（2）如图建立空间坐标系$E（\sqrt{3}，0，0）$，P（0，0，2），$C（\sqrt{3}，1，0）$D（0，2，0），$F（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1）$，H（0，1，1）
$\left\{\begin{array}{l}PD⊥AE\\ PD⊥AH\end{array}\right.⇒$$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$是平面EAH的法向量…（8分）
设平面FAH的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AF}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1），\overrightarrow{AH}=（0，1，1）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AH}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y+2z=0\\ y+z=0\end{array}\right.$，设$z=-\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$…（10分）$cos\left?{\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow n|}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{8}×\sqrt{1+3+3}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，
∴平面FAH与平面EAH所成二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$…（12分）

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．