题目内容
已知：如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，且AC=AB，CO与⊙O相交于点P，CO的延长线与⊙O相交于点F，BP的延长线与AC相交于点E．（1）求证：
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（2）设AB=2，求tan∠CPE的值．
考点：与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（1）由弦切角定理得∠PAC=∠PFA，从而△APC∽△FAC，由此能证明
=
．
（2）由AB是⊙O的直径，得AO=1，AC=2，由AC与⊙O相切于点A，得AB⊥AC，由此能求出tan∠CPE．
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（2）由AB是⊙O的直径，得AO=1，AC=2，由AC与⊙O相切于点A，得AB⊥AC，由此能求出tan∠CPE．
解答：
（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠PFA，
又∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，
∴
=
，
又AB=AC，∴
=
．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB=AC，AB=2，
∴AO=
AB=1，AC=2，
∵AC与⊙O相切于点A，∴AB⊥AC，
∴△AOC中，∠CAO=90°，OA=1，AC=2，
∴tan∠CPE=tan∠CAO=
=
．
又∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，
∴
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
又AB=AC，∴
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB=AC，AB=2，
∴AO=
| 1 |
| 2 |
∵AC与⊙O相切于点A，∴AB⊥AC，
∴△AOC中，∠CAO=90°，OA=1，AC=2，
∴tan∠CPE=tan∠CAO=
| OA |
| AC |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查
=
的证明，考查角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，涉及到弦切角定理、三角形相似、圆的简单性质的合理运用．
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
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