Question

20．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{9}$的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支与点P，O为坐标原点．若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{17}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{17}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=$\frac{2}{3}$a，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a=$\frac{8}{3}$a，在Rt△PFF′中，|PF|²+|PF′|²=|FF′|²，由此能求出离心率．

解答 解由$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），
可得E为PF的中点，令右焦点为F′，
O为FF′的中点，
则|PF′|=2|OE|=$\frac{2}{3}$a，
由E为切点，
可得OE⊥PF，
即有PF′⊥PF，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF′|=2a，
即|PF|=|PF′|+2a=$\frac{8}{3}$a，
在Rt△PFF′中，|PF|²+|PF′|²=|FF′|²，
即$\frac{64}{9}$a²+$\frac{4}{9}$a²=4c²，即c=$\frac{\sqrt{17}}{3}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．