Question

9．在平面直角坐标系中，已知点A（-1，3），B（3，-3），沿x轴把坐标平面折成60°的二面角后线段AB的长度为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{19}$

Answer 1

分析 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，利用平方法即可得到结论．

解答 解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，
∵A（-1，3），B（3，-3），∴C（-1，0），D（3，0），
∴$|\overrightarrow{AC}|=3$，|$\overrightarrow{CD}$|=4，|$\overrightarrow{DB}$|=3，
∵沿x轴把坐标平面折成60°的二面角，
∴＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{DB}$＞=60°，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{DB}$=0，
$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{AC}$=3×3×cos120°=-$\frac{9}{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$²=（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$）²
=$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{CD}$²+$\overrightarrow{DB}$²+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{DB}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$
=9+9+16+2×（-$\frac{9}{2}$）=25，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=5．
故选：A．

点评 本题考查线段长的求法，利用向量法得到$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，利用向量数量积和长度之间的关系进行转化求解是解决本题的关键．注意向量法的合理运用．