Question

8．已知复数z₁=i（1-i）³，
（1）求|z₁|；
（2）若|z|=1，求|z-z₁|的最大值．

Answer 1

分析 （1）求模应先求出复数的实部与虚部，再利用|a+bi|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$得出；
（2）是考查复数几何意义的应用．

解答 解：（1）z ₁=i（1-i） ³=i（-2i）（1-i）=2（1-i），
∴|z ₁|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$．

 （2）|z|=1可看成半径为1，圆心为（0，0）的圆，而z ₁可看成在坐标系中的点（2，-2），
∴|z-z ₁|的最大值可以看成点（2，-2）到圆上点的距离的最大值，由图3-1-3可知，|z-z ₁|_max=2$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查复数的代数形式混合运算，运用复数的几何意义，采取数形结合的方法解题，可简化解题步骤，事半功倍．也可以在设复数的过程中常设为z=a+bi（a，b∈R ）；在有关的解决轨迹的问题中常设z=x+yi，从而与解析几何联系起来；当复数的模为1时也可以设为z=cosθ+isinθ，用三角函数解决相关最值等．