已知椭圆C以F1.F2(1.0)为焦点.且离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$(1)求椭圆C的方程,(2)设椭圆C与x轴正半轴.y轴正半轴的交点分别为A.B.是否存在过点$M$的直线l1.满足:直线l1与椭圆C有两个不同交点P.Q.且使得向量$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$垂直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知椭圆C以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，且离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在过点$M（0\;，\;\sqrt{2}）$的直线l₁，满足：直线l₁与椭圆C有两个不同交点P、Q，且使得向量$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$垂直．如果存在，写出l₁的方程；如果不存在，请说明理由．

分析（1）由题意可知c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出过点$M（0\;，\;\sqrt{2}）$斜率为k的直线l₁的方程，与椭圆C方程联立消y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P，Q的横坐标与纵坐标的和，结合向量$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$垂直求得k，已知判别式得答案．

解答解：（1）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c，
由题设知：c=1，由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，得$a=\sqrt{2}$，则b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）过点$M（0\;，\;\sqrt{2}）$斜率为k的直线${l_1}：y-\sqrt{2}=kx$，
即${l_1}：y=kx+\sqrt{2}$，与椭圆C方程联立消y得$（2{k^2}+1）{x^2}+4\sqrt{2}kx+2=0$，
由l₁与椭圆C有两个不同交点，知△=32k²-8（2k²+1）＞0，得$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴k的范围是$（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$；
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{2{k^2}+1}}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$，
则$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$=$（-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{2{k^2}+1}}\;，\;\frac{{2\sqrt{2}}}{{2{k^2}+1}}）$，
由题设知$A（\sqrt{2}\;，\;0）\;、B（0\;，\;1）$，∴$\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{2}\;，\;1）$，
若$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）⊥\overrightarrow{AB}$，须$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）•\overrightarrow{AB}=\frac{8k}{{2{k^2}+1}}+\frac{{2\sqrt{2}}}{{2{k^2}+1}}=0$，得$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}∉$$（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$，
∴不存在满足题设条件的l₁．