Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：3x-4y+5=0与圆C：（x-4）²+（y-3）²=4相交于点A、B，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值是-2．

Answer 1

分析 先根据点到直线的距离公式求出CD=1，再解三角形得到∠A0B=120°，根据数量积公式计算即可．

解答 解：圆C：（x-4）²+（y-3）²=4，
∴圆心C的坐标为（4，3），半径为2，
∴圆心C到直线l的距离为CD=$\frac{|3×4-4×3+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
∴在Rt△ACD中，CD=1，AB=2，∠CDA=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠A0B=120°，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cos12°=2×2×（-$\frac{1}{2}$）=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查了向量数量积的运算，以及点到直线的距离和解直角三角形的问题，属于中档题．