Question

6．对于任意的实数m∈[0，1]，mx²-2x-m≥2，则x的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 不等式mx²-2x-m≥2化为mx²-2x-m-2≥0，设函数f（x）=mx²-2x-m-2，对于m∈[0，1]时f（x）≥0恒成立，
转化为g（m）=（x²-1）m-2x-2在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；
讨论一次项系数x²-1的取值，求出g（m）的最小值，列出不等式即可求出x的取值范围．

解答 解：不等式mx²-2x-m≥2可化为mx²-2x-m-2≥0，
函数f（x）=mx²-2x-m-2，
则f（x）=（x²-1）m-2x-2对于m∈[0，1]时，f（x）≥0恒成立，
即不等式（x²-1）m-2x-2≥0恒成立；
令g（m）=（x²-1）m-2x-2，
则函数g（m）在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；
因为函数g（m）的一次项系数为x²-1，
当x²-1=0时，x=±1，且x=1时，g（m）=-4不合题意；
x=-1时，g（m）=0满足题意；
当x²-1＞0时，有x＞1或x＜-1，
函数g（m）在区间[0，1]上单调递增，
g（m）的最小值是g（0）=-2x-2≥0，解得x≤-1，应取x＜-1；
当x²-1＜0时，有-1＜x＜1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递减，
g（m）的最小值是g（1）=x²-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，此时x不存在；
综上，x的取值范围是x≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题主要考查了利用函数的单调性求函数最值的应用问题，解题时把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想．