Question

13．已知函数f（x）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f′（x）为其导函数，e为自然对数的底数，且x^xf′（x）＞e^f（x）恒成立，则当m＞n＞0时，有（　　）

• A． mf（xⁿ）＞nf（x^m）
• B． mf（xⁿ）＜nf（x^m）
• C． mf（xⁿ）=nf（x^m）
• D． mf（xⁿ）与nf（x^m）大小不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x），根据已知条件求出g（x）的单调性，从而判断出g（x^m）＞g（xⁿ），得出结论即可．

解答 解：∵x＞1时，x^xf′（x）＞e^f（x）恒成立，
∴lnxf′（x）-$\frac{1}{x}$f（x）＞0，（x＞1），
令g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，（x＞1），
则g′（x）=$\frac{f′（x）lnx-\frac{1}{x}f（x）}{{（lnx）}^{2}}$＞0，
g（x）在（1，+∞）递增，
由m＞n＞0，x＞1得：x^m＞xⁿ＞1，
∴g（x^m）＞g（xⁿ），
∴mf（xⁿ）＜nf（x^m），
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．