Question

19．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，则函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为1-2^a．

Answer 1

分析 函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．

解答 解：∵当x≥0时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，
即x∈[0，1）时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+1）∈（-1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x-2∈[-1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4-x∈（-∞，-1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）-a=0共有五个实根，
最左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，
∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
∴f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（-x+1），
又f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1-x）^-1=log₂（1-x），
∴中间的一个根满足log₂（1-x）=a，即1-x=2^a，
解得x=1-2^a，
∴所有根的和为1-2^a．
故答案为：1-2^a．

点评 本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．